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ISSN: 2007-9273
Protrepsis, Año 14, Número 27 (noviembre 2024 - abril 2025) 09 - 36
Recibido: 01/10/2024
Revisado: 12/11/2024
Aceptado: 27/11/2024
Kant: sobre la necesidad de la matemática
Rodney Morales Xelhuantzi 1
1 Universidad Autónoma Metropolitana-Unidad Iztapalapa
Ciudad de México, México
E-mail: ro_xelhuantzi@hotmail.com
Resumen:
La propuesta de este trabajo es explicar la relación entre la necesidad de los juicios de
la matemática y la justificación del conocimiento acerca de ellos en el marco de la filosofía crítica
de Immanuel Kant. En este contexto, se marcará una diferencia entre la modalidad epistémica,
entendida como el acceso a experiencias posibles; la modalidad metafísica, entendida como la
necesidad o la posibilidad de los objetos en sí mismos de tener ciertas propiedades; y la modalidad
lógico-conceptual, entendida como la necesidad o la posibilidad de afirmar o negar proposiciones
obedeciendo los principios lógicos de identidad y de contradicción, y el contenido de los conceptos.
Sostengo que la necesidad kantiana de las proposiciones matemáticas es epistémica porque
depende de las facultades cognitivas que la razón pura suministra, especialmente, de la intuición
pura.
Palabras clave
: Análisis, a priori, concepto, intuición, mundos posibles, síntesis.
Abstract:
The purpose of this paper is to explain the relationship between the necessity of mathe-
matical judgments and the justification of knowledge about them within the framework of Imman-
uel Kant's critical philosophy. In this context, a distinction will be made among the epistemic mo-
dality, understood as the access to possible experiences; the metaphysical modality, understood as
the necessity or possibility of objects in themselves to have certain properties; and the logical-con-
ceptual modality, understood as the necessity or possibility of affirming or denying propositions
obeying the logical principles of identity and contradiction, and the content of concepts. I maintain
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that the Kantian necessity of mathematical propositions is epistemic because it depends on the
cognitive faculties that pure reason provides, especially pure intuition.
Keywords:
Analysis, a priori, concept, intuition, posible worlds, synthesis.
Introducción
Es bien conocido que para Kant todos los juicios de la matemática son sintéticos a priori. Para
sostener esta tesis, él tuvo que discutir la filosofía de las matemáticas del racionalismo continental
del siglo XVII, especialmente la de Leibniz, que defendió que las proposiciones matemáticas son
analíticas y que se rigen por los principios de contradicción y de identidad. Ambos son principios
lógicos inquebrantables. El primero se aplica para cualquier proposición y vale universal y
necesariamente; el segundo aplica para cualquier entidad, incluidas las del lenguaje: proposiciones,
contenidos conceptuales, etc. El carácter lógico que domina a las proposiciones matemáticas les
otorga un carácter modal: el de ser proposiciones necesarias. Si bien la modalidad de las
matemáticas no fue una propuesta innovadora en los albores de la modernidad, el racionalismo se
sirvió del análisis lógico y conceptual para pensar las proposiciones y objetos matemáticos como
necesarios.
Sin embargo, Kant en su discusión llega a la conclusión de que las proposiciones analíticas no llevan
a la razón a ningún nuevo conocimiento, pese a que, en efecto, son lógica y conceptualmente
necesarias. Para que la razón pura ensanche su conocimiento matemático, tiene que tomar un
camino diferente del análisis; tiene que exponer los conceptos puros en la intuición pura sin
recurrir al auxilio de la experiencia. Con ayuda de su concepción de las intuiciones puras del
espacio y el tiempo, Kant explica cómo nuevos conocimientos matemáticos se justifican lejos del
solo análisis de conceptos, es decir, cómo son posibles los juicios matemáticos sintéticos a priori. En
tanto que un juicio es a priori, es necesario, dice Kant, así que todo juicio matemático es necesario.
Pero, a diferencia de los analíticos, los sintéticos no se rigen por los principios lógicos mencionados,
de modo que pueden ser negados sin contradicción. Si esto es cierto, entonces ¿qué explicación
tiene Kant para el hecho de que un juicio aritmético sea necesario, pero simultáneamente se pueda
negar? Si no es la lógica ni el contenido de los conceptos lo que apoya la necesidad en los juicios
sintéticos, ¿qué es? ¿De dónde viene su necesidad? La respuesta de Kant es que la necesidad de la
matemática está dada por nuestras facultades cognitivas, particularmente por la construcción de
conceptos matemáticos desde la intuición pura y desde los conceptos puros de la razón, que son
todos a priori.
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La necesidad en la matemática antes de Kant: Descartes, Spinoza y Leibniz
En sus Meditaciones de filosofía primera (1641), René Descartes sostiene que de la experiencia no
obtenemos conocimientos fiables, sino únicamente dudosos. Es dudoso, por ejemplo, que usted
esté sentado leyendo este artículo frente a su ordenador, porque todas estas representaciones
formadas en su mente podrían ser producto de un ensueño que ocurre mientras, en realidad, usted
está dormido en su habitación (Descartes, trad. en 1996: 13). Sin embargo, para Descartes hay
algunas proposiciones en las que la duda no tiene lugar. El famoso cogito, ergo sum es, en palabras
del francés, una proposición “necesariamente verdadera siempre que yo la pronuncie o sea
concebida en mi mente” (Descartes, trad. en 1996: 17). Es una verdad necesaria porque, aun
concediendo que todos nuestros pensamientos o creencias son falsos, el pensamiento reflexivo de
segundo orden de que estamos pensando no podría ser falso. Así, hay al menos una proposición
cuyo conocimiento no se justifica en las experiencias dudosas del sentido externo y que por ello
goza de completa certeza. Pensar que pienso, aunque mi pensamiento-objeto sea falso, es una
prueba irrefutable de que existo. El carácter necesario de la proposición es un signo de su certeza.
Descartes considera que las proposiciones matemáticas, particularmente las de la geometría, son
eternas, y la eternidad atribuida a la matemática es, bajo cierta interpretación, una equivalencia de
la necesidad1. La eternidad de tales proposiciones se explica por su estrecha relación con sus
respectivos objetos matemáticos, que poseen esencias igualmente eternas. Un triángulo —se lee en
la quinta meditación (Descartes, trad. en 1996: 45)— tiene una esencia propia y objetiva, y de cada
una de sus propiedades se tiene certeza incluso si de él no hay experiencia pasada ni futura. Que
la suma de sus tres ángulos agudos es igual a dos rectos es una verdad eterna que depende de la
esencia de la figura; es cierta porque su conocimiento es a priori (si por a priori entendemos el
sentido kantiano de una justificación epistémica2 que prescinde de la experiencia), y es, por tanto,
una verdad eterna o necesaria. En consecuencia, la necesidad cartesiana de las verdades
matemáticas se fundamenta en las propiedades esenciales de los objetos matemáticos.
1 La equivalencia entre necesidad y eternidad cartesianas se debe a la interpretación de Edwin Curley (1984). Su
argumento dice que lo eterno depende de la voluntad de Dios al crear el mundo. Él, por su libre voluntad, pudo haber
dispuesto que la suma de los ángulos agudos del triángulo fuera mayor que dos rectos, por lo que esta sería una verdad
eterna en un mundo alterno al nuestro. El hecho de que Dios pueda elegir una u otra verdad eterna acerca del triángulo,
muestra que las proposiciones matemáticas no son necesarias; si lo fueran, Dios no podría cambiarlas, lo que es
inconcebible para Descartes. No obstante, Curley dice que el estado de cosas actual es una entre muchas posibilidades
elegidas por Dios, y puesto que en este estado el triángulo no puede tener otras propiedades (al menos en un modelo
geométrico euclideano), entonces las verdades sobre el triángulo y, en general, de la matemática, son posiblemente
necesarias.
2 Para Kant, lo a priori es claro, cierto y tiene carácter necesario, como en Descartes (trad. en 2009: A2).
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Baruch Spinoza, en el contexto del racionalismo, comparte este parecer. En la Ética (1677) dice
que “de la naturaleza del triángulo se sigue, desde la eternidad y para la eternidad, que sus tres
ángulos valen dos rectos” (Spinoza, trad. en 2021: 87) y que de esta identidad entre ángulos
internos y rectos se sigue el concepto de triángulo y viceversa, porque “esa afirmación pertenece a
la esencia del triángulo” (Spinoza. trad. en 2021: 184).
Esta propuesta común en Descartes y Spinoza deja abiertas algunas interrogantes: ¿cómo llega el
pensamiento a la esencia de los objetos matemáticos para justificar que las verdades que dependen
de ella son eternas o necesarias? ¿cómo justificar a priori el conocimiento de que un triángulo tiene
ángulos internos cuya suma es igual a dos ángulos rectos?
Otra propuesta racionalista alterna es la de G. W. Leibniz, que fundamenta la necesidad
matemática en dos principios lógicamente necesarios. Por un lado, él apunta que hay verdades
absolutamente necesarias, como las de las ciencias formales (lógica, aritmética, geometría), que
encuentran su fundamento en el principio lógico de no contradicción (Leibniz, trad. en 2011c: 666;
trad. en 2011b: 102). Por otro lado, está el principio lógico de identidad, que, junto con el anterior,
fundamenta las proposiciones matemáticas. En palabras de Leibniz, la primera proposición
necesaria es una tautología, “A es A” (Leibniz, trad. en 2011a: 87), y la primera proposición
imposible es una contradicción, “A no es A” (Leibniz, trad. en 2011a: 87), de lo que se sigue que
ambos principios lógicos tienen un carácter modal. Su argumento dice que todas las verdades
matemáticas son reducibles a tautologías y sus negaciones a contradicciones, de modo que, si son
absolutamente necesarias es porque obedecen a los principios de identidad y de no contradicción,
que son lógicamente necesarios. Por ejemplo, 2+2=4 se puede descomponer como una proposición
en la que los términos sean explícitamente idénticos: 4 = 1+1+1+1; 2 = 1+1; entonces: 2+2 es lo
mismo que 1+1+1+1; por tanto: 2+2 = 4 es lo mismo que 1+1+1+1 = 1+1+1+1. Con esto se
demuestra la verdad de la proposición 2+2=4, poniendo de manifiesto explícitamente la identidad
vía el análisis de los términos complejos de la proposición, y dejando la proposición original en la
forma a = a, que es la formalización del principio de identidad3. Igualmente, la proposición 2<3 es
transformable en una desigualdad de la forma 1+1 ≠ 1+1+1, o su equivalente, la negación de una
identidad, ㄱ(1+1=1+1+1), con lo que se expone que el grupo de unidades a la izquierda del
símbolo de desigualdad es menor que el grupo de la derecha (Look, 2022).
Leibniz, quien antes que Kant ya conocía la diferencia entre analítico y sintético, sostuvo que las
proposiciones aritméticas son analíticas. La analiticidad de la aritmética se apoya en la
descomposición de términos o proposiciones complejas en otros más simples, tal como ha mostrado
3 “Todas las verdades se resuelven en definiciones, proposiciones idénticas y observaciones” (Leibniz, trad. en 2011a:
87). Cabe destacar que la negación de 2+2=4 atenta contra el principio de no contradicción, lo que evidencia que
ambos principios lógicos son dos caras de una misma moneda.
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el ejemplo anterior. Hay un tránsito desde una proposición aritmética particular con términos
complejos hacia un principio lógico general con términos simples. Él menciona que hay análisis
“cuando dada alguna conclusión o propuesto algún problema, buscamos los principios a partir de
los cuales podemos demostrarlo o resolverlo”, mientras que la síntesis se presenta “cuando
empezando por los principios componemos teoremas o problemas” (Leibniz, trad, en 2011a: 88).
Esto alude más a un método de demostración que al contenido de proposiciones; sin embargo, en
otro texto dice que:
en las proposiciones idénticas esa conexión [entre los términos de la proposición] y la
inclusión del predicado en el sujeto es expresa; en las demás, en cambio, implícita, y ha de
ponerse de manifiesto por el análisis de las nociones, en el cual estriba la demostración a priori.
(Leibniz, trad. en 2011a: 108)
Desde luego, tal distinción anuncia a Kant.
La tesis leibniziana es atractiva porque por encima de aquellas verdades matemáticas que se
consideran de suyo necesarias hay un par de principios lógicamente necesarios que no necesitan
justificación alguna más que el sólo pensamiento puro, lo que ayudaría a responder la segunda de
las preguntas que Descartes y Spinoza han dejado abiertas. Probablemente, estos filósofos habrían
estado dispuestos a admitir que las proposiciones sobre el triángulo son analíticas (pese a que no
conocieron la distinción analítico/sintético), en el sentido de que en el concepto de esta figura está
implícito que necesariamente la suma de sus ángulos internos es igual a dos ángulos rectos, esto es,
en el sentido de descomponer el concepto en sus partes más simples. pero es algo que no podemos
asegurar.
La necesidad y las definiciones matemáticas
Si se desea saber cómo conocer la esencia de los objetos matemáticos, tal como lo mencionan
Descartes y Spinoza, se podría elegir el camino de la definición de los conceptos matemáticos. Por
la dicotomía entre definiciones reales y definiciones nominales, que se remonta hasta Aristóteles,
es factible que el conocimiento de la definición nominal justifique el conocimiento de la definición
real; es decir, conocemos la esencia de algunas entidades matemáticas (triángulos, por ejemplo) a
través de la comprensión del significado de los conceptos que la determinan4. El camino inverso
también es razonable: si conocemos la esencia de una entidad, entonces conocemos como
necesariamente verdadera su definición nominal. Esto último parece ser lo que Descartes y
Spinoza dicen en la quinta meditación y en los pasajes de la Ética citados, respectivamente. Lo que
se dice de un triángulo está determinado por las propiedades reales de la figura, y éstas no pueden
4 Algunos filósofos contemporáneos, como Bob Hale (Hale, 2020), defienden esta postura.
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rebasar los límites de los conceptos que definen la figura. Lo que es el objeto y su definición siempre
se corresponden.
La definición, además, tiene la característica de ser conocida siempre a priori. La conexión del
definiendum con el definiens no precisa de la experiencia, sino de una adecuación entre el
contenido conceptual del primero con el del segundo que ocurre por análisis. Al definir un
concepto, cuidamos que el definiens se adecúe completa y correctamente a una determinación
completa mediante otros conceptos del significado del definiendum. Si definimos el concepto de
triángulo como una figura compuesta por tres líneas rectas que se unen formando tres ángulos
internos cuya suma es igual a dos ángulos rectos5, veremos que la experiencia no tiene ningún rol
que tomar para que ambos elementos de la definición se correspondan. Una definición explícita en
matemáticas, donde el definiendum y el definiens son intercambiables dado que su contenido es el
mismo, es un buen ejemplo de una proposición conocida a priori. Las definiciones ostensivas, en
las que tomamos un concepto o un objeto y arbitrariamente lo definimos mediante conceptos que
lo determinan, también son conocidas a priori, pues el conocimiento de la estipulación no necesita
de ninguna experiencia que lo justifique6.
Por su parte, Kant afirma que la definición debe ser la presentación original y detallada de un
concepto dentro de sus propios límites (Kant, trad. En 2009: A727=B750). Original —explica—
porque no debe derivarse de otro concepto; detallada, porque todo lo que le caracteriza, es decir,
sus marcas distintivas (Merkmale), debe ser claro y suficiente; y dentro de sus límites, porque debe
ser preciso. Esto no dice nada acerca de si las definiciones matemáticas para Kant son reales o
nominales, aunque sí consideró tal distinción. Las definiciones nominales kantianas llevan consigo
la esencia lógica del concepto en cuestión, que es su intensión, es decir, un concepto superior que
está contenido en el concepto definido7, y es hallada mediante la reflexión sobre su predicado
(Beck, 1956: 181-182; Capozzi, 1980: 427). Las definiciones reales, por otro lado, “contienen una
marca clara por la cual el objeto puede ser reconocido y en virtud de lo cual el concepto se muestra
que tiene ‘realidad objetiva’, con lo cual se demuestra que hay una cosa definida” (Beck, 1956:
181). Las definiciones reales se constituyen por predicados sintéticos, que son aquellos que
determinan objetos mediante la intuición, de modo que las definiciones reales derivan siempre en
juicios sintéticos (Beck, 1956: 182).
5 Desde luego, esta definición no es precisa, pero ilustra el asunto.
6 Saul Kripke habla de estas definiciones en su Naming and necessity (1980), pero el asunto ya lo había tratado Kant
en (Kant, trad. en 2009: A729/B757)
7 Por ejemplo, la definición nominal del concepto humano es mamífero y animal, que son conceptos más amplios que
subsumen al primero y que al mismo tiempo están en él.
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Una interpretación común entre algunos comentaristas contemporáneos sostiene que, para Kant,
en matemáticas las definiciones son reales (Heis, 2014: 608; Capozzi, 1980: 429; Beck, 1956: 186).
En efecto, las definiciones nominales no son más que explicaciones discursivas acerca del
significado del concepto en cuya esencia lógica no hay un compromiso con los objetos matemáticos
tales como números o figuras geométricas. El matemático, a diferencia del filósofo, no puede limitar
sus conceptos a la sola explicación discursiva de sus conceptos, es decir, a su esencia lógica, pues
éstos son construidos por él en la intuición, con lo que inmediatamente obtiene una definición real.
Si bien, hay un punto de convergencia entre definiciones nominales y definiciones reales, como
afirma Capozzi (Capozzi, 1980: 426), a saber, el de asignar nombres a los conceptos al definirlos,
no podríamos conocer la esencia real de los objetos matemáticos desde la explicación discursiva del
significado conceptual. Por tanto, únicamente las definiciones reales son propias de la matemática.
Esta postura concuerda perfectamente con la tesis fuerte de Kant de que los juicios de la
matemática son sintéticos a priori, en los que la intuición pura es un elemento esencial. Un juicio
sintético a priori implica construir un concepto matemático, y construir uno es tanto como definirlo
realmente.
Puesto que construcción de conceptos en la intuición y definición real son la misma cosa, entonces,
como comenta Jeremy Heis (Heis, 2014: 608), los conceptos no son dados, sino que son hechos por
el sujeto en las intuiciones puras. Además, la construcción de conceptos lleva consigo
necesariamente un objeto, lo construido, de suerte que la definición real es definición de un
concepto en el que cae un objeto; dicho de otro modo: no hay conceptos construidos que sean
vacíos, sin objetos. Es importante destacarlo porque conocer la esencia real de los objetos de la
matemática no es algo proveniente de fuera, de la experiencia; y si bien se lleva a cabo en el sujeto,
eso no indica tampoco que sea arbitrario: “Las entidades matemáticas no son productos lógicos
arbitrarios de predicados lógicos compatibles; los conceptos tienen validez objetiva (dentro de la
intuición) que se muestra a través de la presentación de la determinación correspondiente” (Beck,
1956: 186). Así, la necesidad de las proposiciones matemáticas no es algo dado, algo que pertenezca
y que llegue de un objeto externo, esa necesidad radica en las facultades del sujeto con las cuales
construye el concepto.
La observación de que las definiciones reales surgen inmediatamente de la construcción de
conceptos en la intuición pura conduce al pensamiento de que la necesidad atribuida a las
proposiciones matemáticas no radica en objetos externos a las facultades humanas, por el contrario,
depende de ellas. En la Crítica de la razón pura (1781) (CRP)8 Kant apunta que al preguntar si un
8 Las obras de Kant se indican con las siguientes abreviaturas en su forma canónica:
CRP = Crítica de la Razón pura, ediciones A y B
JL = The Jäsche Logic
VL = Vien Logic
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objeto externo es necesario “no se piensan más determinaciones en el objeto mismo, sino que sólo
se pregunta cómo se comporta éste […] con respecto al entendimiento” (Kant, trad. en 2009: A219).
Puesto que conocemos los objetos únicamente en la experiencia, y ésta nunca es fuente de
necesidad, se sigue que es un sinsentido pensar en objetos necesarios, a menos que se trate de
aquellos que se forman en el sentido interno. La necesidad depende de la estructura del
pensamiento humano, por lo cual no puede ser inferida de la constitución metafísica de los objetos
en sí mismos (Abaci, 2021: 299). De esto se infiere que para Kant la necesidad, así como la
posibilidad y la contingencia, no es metafísica, sino que depende en algún grado de la razón. Por
tanto, la necesidad está sujeta a nuestras facultades humanas con las que construimos conceptos
matemáticos.
Necesidad, certeza y conocimiento a priori en la matemática
Necesidad y aprioridad son dos nociones kantianas coextensivas9: una proposición es conocida a
priori si y sólo si es necesaria. Desde las primeras líneas de la introducción de CRP se apunta que
el conocimiento con carácter de necesidad es a priori y poco después se menciona que la necesidad
de una proposición, así como su universalidad, sólo pueden emanar del conocimiento a priori
(Kant, trad. en 2009: A2). De la experiencia —dice Kant— nunca se obtiene universalidad ni
necesidad, sino hechos contingentes que pueden romper la regla de una generalidad apoyada por
inducción. La proposición empírica Todos los cuerpos son pesados es susceptible de ser negada por
una experiencia posible que reporte lo contrario; puesto que no se tienen todas las experiencias de
la pesadez de todos los cuerpos, no tiene universalidad, y puesto que es posible que en alguna
experiencia futura haya un cuerpo no pesado, tampoco hay necesidad. En CRP leemos: “La
necesidad y la universalidad estricta son, por tanto, señales seguras de un conocimiento a priori, y
son también inseparables una de la otra” (Kant, trad. en 2009: B4).
Una interesante explicación de la relación entre necesidad y conocimiento a priori en Kant se
encuentra en la interpretación de Philip Kitcher basada en la teoría de los mundos posibles. De
acuerdo con él, los mundos posibles kantianos son la “totalidad de apariencias posibles, esto es,
experiencias que podrían ser experiencias para nosotros” (Kitcher, 1975: 24). Así, un mundo
posible kantiano se define en función de nuestro acceso epistémico, limitado por nuestras
facultades cognoscitivas, a hechos presentados como fenómenos, pasados, actuales o futuros. Si esta
interpretación es coherente con el pensamiento de Kant, entonces la modalidad no es metafísica
porque no se apoya en la existencia de otros mundos stricto sensu, como en el realismo modal de
David Lewis, sino en nuestra capacidad de acceder a experiencias según los límites de nuestras
Prol. = Prolegómenos a toda metafísica futura
9 Kitcher menciona la misma coextensividad, pero él defiende que la necesidad es metafísica (Kitcher, 1975: 26),
mientras que se sostiene aquí que dicha necesidad es epistémica.
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facultades humanas de conocimiento. En conformidad con ello, si hay un acceso epistémico a
alguna experiencia, las proposiciones que de ella emanan son meramente posibles; si tengo acceso
a todas las experiencias, las proposiciones serían necesarias; si no tengo acceso a ninguna
experiencia, la proposición sería imposible10. Aceptar esto implicaría aparentemente11 que de la
sensibilidad se sigue la necesidad y la imposibilidad, lo que para Kant es inaceptable, pues lo
necesario y lo imposible no pertenecen a los fenómenos que nos son dados vía la sensibilidad.
¿Cómo entonces se explica la relación entre la necesidad y lo a priori de acuerdo con la sugerencia
de Kitcher? La respuesta a ello se puede apoyar en las palabras de Kant cuando señala que “aunque
todo nuestro conocimiento comience
con
la experiencia, no por eso surge todo él
de
la experiencia”
(Kant, trad. en 2009: B1). En efecto, el conocimiento a priori es, por definición, independiente de
cualquier experiencia; por lo tanto, por vacuidad, está justificado por encima de cualquier
experiencia (mundo) posible. La dicotomía entre a priori y a posteriori explica que, no porque una
proposición no sea conocida gracias a nuestro acceso epistémico a experiencias posibles mediante
la sensibilidad, significa que no es conocida en absoluto ni que es imposible, sino lo contrario: la
sensibilidad no es una condición necesaria para todo conocimiento, por lo que cabe tener
proposiciones necesarias. En consecuencia, y en concordancia con esta interpretación, una
proposición es verdadera en cualquier experiencia o mundo posible (es necesaria) si y sólo si su
conocimiento se justifica por encima de cualquier experiencia o mundo posible (es a priori).
Además de relacionarse con el conocimiento a priori, la necesidad también está relacionada
directamente con los juicios apodícticos en la tabla lógica del entendimiento, que se definen como
aquellos “en los que [el afirmar o el negar] se lo considera como necesario” (Kant, trad. en 2009:
A75/B100). Como aquélla, los juicios apodícticos dependen de nuestras facultades de conocer,
pues en lo apodíctico no se agrega nada al contenido del juicio como lo hacen las otras funciones
lógicas del entendimiento (cantidad, cualidad y relación), “sino que [lo apodíctico] solo interesa al
valor de la cópula con respecto al pensar en general” (Kant, trad. en 2009: A74/B100). Lo
apodíctico de un juicio tiene que ver con cómo llevamos a cabo epistémicamente un juicio, esto es,
con el grado de certeza con que lo afirmamos, que es dado por la conciencia de la necesidad del
mismo (Kant, trad. en 1992a: 66, 108).
Ian Blecher (Blecher, 2021: 308) nota que el término apodíctico es tomado por Kant de uno de la
lógica aristotélica, apodeixis, traducido como demostración y definido como “un silogismo que
10 Cabe destacar que esta concepción de las modalidades kantianas coincide con sus definiciones de posible,
efectivamente real y necesario al inicio de “Los postulados del pensar empírico en general” (Kant, trad. en 2009:
A218/B266). Kant no menciona la contingencia ni la imposibilidad como modalidades, pero éstas pueden muy bien
acomodarse a sus definiciones.
11 En realidad, no es así. De hecho, ser necesario también significa ser verdadero en todas las experiencias posibles.
Ver abajo, página 20.
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produce conocimiento científico” (Aristóteles, trad. en 1960: 31)12. No sólo es la palabra, sino
también la fuerza epistémica lo que Kant hereda de Aristóteles. Para Kant el conocimiento
(Wissen) es uno de los tres modi de tomar algo como verdadero13 y el único que lo hace con carácter
de necesidad; por eso se asocian los juicios apodícticos con el conocimiento (Kant, trad. en 1992a:
66). Se trata, así, de una gradación epistémica, pues no es lo mismo tener un juicio asertórico (una
proposición verdadera con condiciones de verdad materiales correspondiente a la creencia) que un
juicio apodíctico, que determina al asertórico mediante las leyes del entendimiento puro, por lo
cual llega a un conocimiento a priori de su contenido y le da el carácter de necesidad (Kant, trad.
en 2009: A76). De la misma manera, en el silogismo no es lo mismo creer en la verdad de su
conclusión que conocerla mediante una demostración lógica. De hecho, Kant, como Aristóteles,
llama demostraciones a algunos juicios apodícticos. Una demostración en Kant es una prueba
apodíctica en la que los conceptos puros son exhibidos en las intuiciones igualmente puras del
espacio y el tiempo (Kant, trad. en 2009: A734/B762). Sin embargo, cabe aclarar que Kant también
habla de conocimientos apodícticamente ciertos en los que una verdad empírica está mezclada.
Pero en tal conocimiento se considera únicamente “el poder de juzgar al considerar los criterios
subjetivos de subsunción de un juicio bajo ciertas reglas” (Kant, trad. en 1992a: 66), lo que significa
que se trata de un juicio empírico tomado como verdadero porque ha sido derivado bajo las reglas
de un razonamiento a partir de otros juicios empíricos verdaderos. Por tanto, un juicio
apodícticamente cierto pero empírico surge de una demostración silogística, en el sentido llano de
la palabra de la lógica elemental, que pasa por alto el origen epistémico del contenido de las
proposiciones. Pero este sentido de demostración no es del interés de la razón pura sino el que
produce conocimiento científico. Entonces, hay que diferenciar entre la certeza apodíctica que
tenemos de un juicio porque está sujeto a las reglas de inferencia de un razonamiento deductivo,
de la certeza empírica basada en nuestra propia experiencia o en la de alguien más (Kant, trad. en
1992a: 71). Un juicio empírico puede gozar de ambas certezas: en cuanto a su contenido, tiene
certeza empírica, en cuanto a su rol como conclusión de un razonamiento deductivo tiene certeza
apodíctica.
12 Jaakko Hintikka (Hintikka, 1967: 361) observa que en el método matemático de Euclides se encuentra apodeixis,
que es el último paso en una demostración geométrica. Hintikka sostiene que, debido a la influencia de la matemática
griega sobre los estudios de Kant, y especialmente la de los Elementa de Euclides, el término kantiano apodíctico tiene
su origen en el matemático griego. Cuál sea el origen exacto del término de Kant es imposible saberlo, pero dado que
en Euclides —según lo presenta Hintikka— apodeixis también significa y tiene el sentido de prueba o demostración a
partir de una serie de inferencias hechas desde axiomas y proposiciones adicionales, la postura de Hintikka
complementa la de Blecher.
13 Entre los que también se cuenta la opinión y la creencia, relacionadas, respectivamente, con los juicios problemáticos
y los asertóricos.
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En CRP (Kant, trad. en 2009: A734/B762) se dividen los juicios apodícticos en discursivos,
basados únicamente en conceptos a priori y propios de la filosofía y la metafísica, y en intuitivos,
que pertenecen únicamente a la matemática. Asimismo, la certeza racional se divide en discursiva,
también llamada evidencia, y en intuitiva (Kant, trad. en 1992a: 70). Esta división es de especial
importancia en la filosofía de las matemáticas de Kant porque, como fácilmente se advierte, es
paralela a la división entre juicios analíticos y juicios sintéticos, respectivamente. Como es bien
conocido, en los juicios de la matemática las intuiciones puras de tiempo y espacio desempeñan un
papel capital en la construcción de conceptos matemáticos. En este sentido, Kant afirma en el
mismo pasaje de la CRP que:
A partir de conceptos a priori (en conocimientos discursivos) no puede nunca, empero, surgir
certeza intuitiva, es decir, evidencia, por mucho que el juicio sea apodícticamente cierto. Por
tanto, sólo la matemática contiene demostraciones, porque ella no deduce sus conocimientos
a partir de conceptos, sino a partir de la construcción de éstos, es decir, a partir de la intuición,
que puede ser dada a priori de manera correspondiente a los conceptos. (Kant, trad. en 2009:
A734/B762)
Los juicios analíticos son apodícticos discursivos porque son explicativos de un concepto mediante
su propia descomposición; los juicios sintéticos, por el contrario, son generativos o constructivos de
conceptos a partir de otros conceptos puros del entendimiento con el auxilio imprescindible de la
intuición pura. Por tanto, sólo en los juicios sintéticos algo nuevo se llega a conocer.
Por ello, la matemática, en comparación con la metafísica, en tanto que se compone de juicios
sintéticos a priori, goza del mayor estatus epistémico dentro de la filosofía crítica de Kant, pues
todas sus proposiciones son necesarias, el conocimiento de sus contenidos tiene certeza apodíctica
y éste se justifica fuera de toda experiencia posible, es decir, es a priori. El conocimiento científico
que Aristóteles, menciona Kant, lo encuentra en la matemática14. Los frecuentes contrastes que
Kant resalta entre el conocimiento filosófico y el matemático son evidencia de esto. En CRP dice:
La matemática ofrece el ejemplo más brillante de una razón pura que se ensancha felizmente
por sí misma, sin el auxilio de la experiencia. […] nos importa mucho saber si el método para
alcanzar la certeza apodíctica, [método] que en la última ciencia se llama matemático, es
idéntico a aquel con el cual se busca, en la filosofía, precisamente esa certeza, y que debería
llamarse [método] dogmático. (Kant, trad. en 2009: A712/B740-A713/B741)
14 En JL se lee: “De [la palabra] conocimiento (Wissen) viene [la palabra] ciencia (Wissenschaft), por lo cual se
entiende lo complejo de la cognición como un sistema” (Kant, trad. en 1992a: 72). Claramente esto coincide con las
palabras citadas arriba del Organon aristotélico.
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Su respuesta a esta cuestión es negativa: él dice que en el campo de la geometría un triángulo, en
manos del filósofo, sólo sería analizado como concepto sin poder extraer un nuevo conocimiento de
él; en cambio, en manos del matemático, el conocimiento acerca del triángulo se extiende “por una
cadena de razonamientos, guiado siempre por la intuición” (Kant, trad. en 2009: A716/B744-
A717/B745; Hintikka, 1967: 362). Si bien, tanto el filósofo con el análisis como el matemático con
la síntesis tienen ambos juicios apodícticos, necesarios y a priori, la sutil pero esencial diferencia
radica en la extensión de nuestro conocimiento: el filósofo vuelve siempre al concepto que fue su
punto de partida en el análisis; el matemático trasciende mediante la síntesis de unos conceptos a
otros. Por tanto, la necesidad, lo apodíctico y lo a priori de los juicios matemáticos no son
suficientes, aunque sí necesarios, para exponer la matemática como un modelo de conocimiento de
la razón pura.
Necesidad lógica y contenido conceptual
Uno de los principios lógicos que ningún filósofo se atrevió a cuestionar qua lógico15 desde la
Antigüedad hasta la aparición de las lógicas no clásicas es el principio de no contradicción. Ya desde
Aristóteles se presenta como un principio necesario y relacionado con las matemáticas (Aristóteles,
trad. en 1998: IV, 3). Como quedó apuntado en la primera sección de este escrito, Leibniz retoma
esta relación y la lleva a un reduccionismo: las proposiciones matemáticas son demostrables según
dos principios lógicos, de ahí se sigue que son analíticas y que su necesidad se fundamenta en la
necesidad lógica.
Un punto clave de la filosofía de las matemáticas de Kant radica en rechazar la tesis racionalista de
que las verdades matemáticas son analíticas a priori (pese a que lo analítico es lógicamente
necesario) y en defender que ellas son sintéticas a priori y, por tanto, necesarias en algún otro
sentido de necesidad. Pero si Kant afirma que los juicios analíticos a priori son necesarios y
apodícticos, ¿por qué en ellos no pueden ser incluidos los de la matemática? ¿Por qué éstos tienen
que ser sintéticos a priori? ¿Qué sentido de necesidad debe atribuirse a los juicios matemáticos?
Los juicios analíticos kantianos son proposiciones conceptuales cuya conocimiento descansa en el
principio de identidad (como un criterio positivo) y en el principio de no contradicción (como un
criterio negativo), que son “aspectos o formulaciones meramente diferentes de uno y el mismo
principio fundamental” (Proops, 2014: 603-606). La definición de juicio analítico en CRP dice:
analítico es un juicio en el que “el predicado B pertenece al sujeto A como algo que está contenido
(ocultamente) en ese concepto A […] Los juicios analíticos […] son, por tanto, aquellos en los cuales
15 Por supuesto que hay cuestionamientos sobre él, pero son más acerca de su origen gnoseológico que de su naturaleza
lógica. ¿De dónde procede el principio? De ideas innatas, responde el racionalista (Leibniz); de la experiencia, responde
el empirista (Locke). ¿Podría ser falso? No, responden ambos.
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la conexión del predicado con el sujeto es pensada por identidad” (Kant, trad. en 2009: A6-7). Dos
términos merecen atención en esta definición de analiticidad: estar contenido en e identidad. El
primero significa que el concepto B puede hallarse al descomponer en conceptos más simples el
contenido del concepto A, pues el análisis va de lo complejo a lo simple. El segundo significa que
el contenido conceptual de ambos elementos de la proposición es coextensivo. En tanto que existe
esta identidad entre los contenidos de ambos conceptos, que se reconoce sin requerimiento de la
experiencia, los juicios analíticos son a priori y, por tanto, son necesarios y apodícticos, aunque
discursivamente, como se explicó en la sección previa. Asimismo, como hay tal conexión de
identidad dentro de los juicios analíticos, hay una necesidad lógica porque siguen el principio
lógico de identidad y porque su negación lleva inminentemente a quebrantar el principio de no
contradicción, lo que no puede ocurrir. Además, los juicios analíticos son a priori incluso si los
conceptos en cuestión son empíricos, ya que es suficiente reconocer la identidad de los contenidos
conceptuales en el juicio para conocerlo como verdadero cualquiera que sea el origen del concepto.
En los Prolegómenos (1783) Kant dice: “Todos los juicios analíticos descansan enteramente en el
principio de contradicción y son, por su propia naturaleza, conocimientos a priori, si los conceptos
que sirven de materia son empíricos o no” (Kant, trad. en 2004: 4, 267). ¿Qué significa que un
juicio analítico descanse en un principio lógico? En la primera sección de este texto se apuntó que
para Leibniz significa una reducción de la matemática a la lógica, pero no parece que este sea el
sentido de Kant. Kant no caracteriza los juicios analíticos como aquellos que reducen sus términos
a la forma lógica “A es A” y “A no es A”, más bien, dice que el contenido de los conceptos obedece
a estos principios. El juicio analítico todos los cuerpos son extensos no tiene la forma lógica del
principio de identidad, pero en los conceptos cuerpo y extenso sí existe esta relación. Ian Proops
sugiere que la importancia de los principios lógicos está en el estatus epistémico que otorgan a los
juicios analíticos, ya que Kant está diciendo que “cualquier juicio, si es analítico, ‘descansa’ en el
principio de contradicción en el sentido de que el conocimiento de su verdad descansa en el
conocimiento de este principio a priori, por lo que, a su vez, es a priori” (Proops, 2005: 604).
Por su parte, Lanier Anderson (Anderson, 2021: 25; 2015: 12-25) lleva a cabo tres formulaciones
de juicio analítico: P es analítico si y sólo si su predicado está contenido en su sujeto; P es analítico
si y sólo si hay una conexión de identidad entre los contenidos de ambos conceptos; P es analítico
si aclara mediante análisis un concepto. Es posible agregar una cuarta formulación, como una
extensión de la segunda: P es analítico si y sólo si su negación lleva a una contradicción. Paul
Bogossian (Bogossian, 1998: 334) ofrece otro sentido de analiticidad: P es analítico si y sólo si se
reconoce como verdadero en virtud de comprender como idénticos los contenidos de sus conceptos
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componentes16. La diferencia entre las definiciones de Anderson y la de Bogossian es que las
primeras tienen un sentido lógico-conceptual y la última uno epistémico. ¿Son entonces la
analiticidad y su necesidad nociones lógico-conceptuales o epistémicas?
Anderson observa que la analiticidad depende de la estructura conceptual y lógica de los juicios, y
ésta es una característica objetiva suya: “Los conceptos son idénticos exactamente cuando
contienen los mismos signos [y] lo que un concepto contiene es un hecho lógico objetivo […] La
analiticidad llega a ser una característica intrínseca de la estructura lógica de los juicios” (Anderson,
2015: 31-32). Kitcher también apunta: “se puede decir que aquellas proposiciones [analíticas] son
verdaderas en virtud de la estructura de nuestros conceptos porque ellos le deben su verdad a
características particulares de esa estructura” (Kitcher, 1975: 24). Esto apoya la interpretación
lógico-conceptual de la analiticidad. Pero en la explicación del mismo Kant de su definición de
analiticidad dice que en la proposición analítica todos los cuerpos son extensos:
No necesito salir del concepto que enlazo con el cuerpo, para encontrar conectada con él la
extensión; sino que [necesito] solamente descomponer aquel concepto, es decir, sólo
[necesito] hacerme consciente de lo múltiple que siempre pienso en él, para encontrar en él
ese predicado. (Kant, trad. en 2009: A11; énfasis del autor)
Y líneas adelante agrega que al extraer por análisis un concepto de otro uno toma consciencia de la
necesidad del juicio analítico. Tomar consciencia de algo no es otra cosa que reconocerlo. Esto
parece apoyar la interpretación epistémica de analiticidad. Por supuesto, ambas interpretaciones
no son excluyentes, sino complementarias, pero eso no quiere decir que tengan el mismo estatus.
Reconocemos la identidad de los contenidos conceptuales porque hay una estructura conceptual
objetiva en los juicios analíticos que se manifiesta en la contradicción de su negación. Los
principios de identidad y contradicción son objetivos y sólo reconocemos que la estructura de los
juicios analíticos los obedece. La analiticidad tiene relevancia epistémica en tanto que es
explicativa de conceptos, incluso si no es útil para ensanchar el conocimiento, pero la tiene sólo
porque los juicios analíticos tienen una estructura lógica y conceptual. Por tanto, ésta tiene
prioridad sobre el conocimiento que podamos tener en los juicios analíticos.
16 En realidad, Boghossian dice que “un enunciado ‘es verdadero en virtud de su significado’ siempre que la sola
comprensión de su significado baste para tener una creencia justificada de su verdad” (Boghossian, 1998: 334). Pero
para tener una creencia justificada del significado del enunciado como un todo hay que tener una comprensión de sus
partes, según el principio de composicionalidad. Sin embargo, esta definición no es completa aún, porque un
enunciado cualquiera puede ser reconocido como verdadero a partir de comprender el significado de sus partes. Por
eso agrego que hay que comprender que entre las partes del enunciado hay una relación de identidad, pues de otra
manera no podría ser analítico.
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Ahora bien, como las verdades de la aritmética y de la geometría llevan a contradicciones si son
negadas y tienen el carácter de necesarias, parece coherente relacionarlas con los juicios analíticos.
Las proposiciones básicas de la matemática, como 2+2=4 o que un círculo es la línea cuyos puntos
componentes son todos equidistantes a otro punto, no son verdades fácticas, aunque pueden
encontrar instancias en los hechos asequibles a nuestra experiencia. Son verdades objetivas, sí, pero
cuyo fundamento está más allá de la realidad percibida. Los contenidos de sus conceptos tienen
una estrecha relación que no parece depender ni de los hechos físicos, ni de nosotros como sujetos
cognoscentes, aunque somos nosotros quienes los comprendemos. Los conceptos de suma o adición
del 2 consigo mismo o de círculo nos muestran, de alguna manera, el concepto del número 4 o el
concepto de puntos continuos equidistantes a un punto fijo, respectivamente. Asimismo, pensar
que la suma del 2 consigo mismo no es el número 4 es absurdo, tanto como lo es pensar que el
círculo no es una línea continua cuyos puntos son equidistantes de un punto fijo. En estas
proposiciones hay una identidad entre sus dos conceptos y una absurdez en su negación. Por tanto,
las proposiciones matemáticas son analíticas, o, al menos —dice Kant en CRP — así lo habían
pensado algunos filósofos racionalistas (Leibniz, como ha quedado evidenciado en las secciones
anteriores).
Ante la reducción lógica leibniziana de algunas proposiciones matemáticas, Kant hace dos agudas
observaciones en CRP sobre este procedimiento analítico. La primera: admite que los principios a
= a y (a + b) > a “son analíticos y se basan en el principio de contradicción; pero, como proposiciones
idénticas, sólo sirven para la concatenación del método, y no como principios [del método]” (Kant,
trad. en 2009: B16-17), o sea, las verdades aritméticas, como los ejemplos de arriba, no son
reducibles a los principios lógicos de identidad y de contradicción. La segunda y más importante
es que no se trata únicamente de descomponer un concepto en partes, sino de cuidar que nada
ajeno a su contenido sea introducido en el análisis. Ser analítico, dice, resulta ambiguo. Un sentido,
como el de Leibniz, toma la analiticidad como la descomposición de un concepto en partes en la
que algo más que el contenido del concepto es introducido; otro sentido, el kantiano, la toma como
la descomposición de un concepto en partes sin que nada ajeno a su contenido es introducido. El
problema con el supuesto análisis de Leibniz de la proposición 2+2=4 es que, en la proposición
resultante, 1+1+1+1=1+1+1+1, hay algo más que los contenidos de los conceptos: a través de la
suma se ha introducido descuidadamente la intuición del tiempo en la que se agregan unidades, y
esto es claro porque tal agregado no es algo que esté oculto en el concepto del número 4. Lo mismo
ocurre con la proposición supuestamente analítica acerca del triángulo, pues al descomponer el
concepto, llegamos a otros conceptos, como el de línea recta o el de ángulo, que implícitamente
tienen la intuición del espacio. Cuando en una proposición hay una de ambas intuiciones, incluso
si hay descomposición, aquélla no puede llamarse estrictamente analítica.
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¿Cómo entonces se lleva a cabo el análisis de los conceptos? Anderson sostiene que el análisis
kantiano de un juicio es una definición aristotélica por género y especie, esto es, una división lógica
por jerarquía de conceptos en clases y sub-clases, donde éstas están contenidas en aquéllas
(Anderson, 2004; 2015)17 . Anderson encuentra evidencia de esta concepción kantiana de la
descomposición de conceptos en los escritos de lógica del filósofo prusiano. Kant (Kant, trad. en
1992b: 910-911; Kant, trad. en 1992a: 146; cit. Anderson 2004: 509) menciona que hay conceptos
superiores y otros inferiores; en los primeros, llamados géneros o divisus (concepto dividido) están
contenidos los segundos, llamados especies o membra dividentia (miembros de la división). En un
concepto dado, está contenido lo múltiple, entendido esto como una variedad de otros conceptos
que lo determinan. Kant llama a esta descomposición de un concepto la división lógica de ese
concepto. Por ejemplo, en el hombre es un animal, el término hombre es un concepto inferior, la
especie, contenido en el superior animal, el género. Claro que esta proposición no cuenta como
analítica, a menos que descompongamos todo lo múltiple del concepto hombre hasta que sus
conceptos constituyentes lo determinen, esto es, hasta que ambas partes sean coextensivas. Así, la
relación estar contenido en por la que definimos a los juicios analíticos significa formar parte de la
división lógica de un concepto.
En este sentido, los juicios de la aritmética no son analíticos porque no pueden ser analizados como
una definición aristotélica. Las palabras de Kant tantas veces citadas de que por más que uno
analice la suma de los números 7 y 5 jamás se encontrará el concepto del número 12 se explica por
esta división lógica de los conceptos (Kant, trad. en 2009: 15). En efecto, Anderson (Anderson,
2004) sostiene que la suma de los números 7 y 5 no forma parte de una jerarquía conceptual única
dentro del concepto del número 12 porque en realidad este concepto puede descomponerse en
infinitos conceptos: 11+1, 13-1, 3×4, √144, 4.345+7.655, etc. Entre cada una de estas expresiones
matemáticas no hay una jerarquía, sino que sólo la hay entre cada una de ellas y el número doce.
Desde esta perspectiva, el doce tiene una jerarquía multidimensional, esto es, el doce tendría una
división lógica ad infinitum. Pero como señala Kant, “ningún concepto, como tal, puede ser
pensado como si contuviese en sí una multitud infinita de representaciones” (Kant, trad. en 2009:
B 40; cit. Anderson, 2004: 519). Las definiciones por género y especie que definen la analiticidad
kantiana tienen, según Anderson, unidimensionalidad, esto es, una jerarquía en cadena desde un
concepto complejo hasta muchos conceptos que lo dividen en conceptos más simples. Así, el
concepto humano se dividiría en conceptos como animal, mamífero, omnívoro, etc. Cada uno de
17 Esto contradice el sentido de las verdades analíticas tal como lo han concebido algunos filósofos de tradición
anglosajona desde W. O. Quine. En “Two Dogmas of Empiricism” (1951) Quine simplifica la analiticidad como el
hecho de ser verdadero en virtud del significado, abriendo paso a que proposiciones como todos los solteros son no
casados sean analíticas por una cuestión de sinonimia y no por una de descomposición jerárquica de conceptos. La
concepción de Kant no coincide con la de Quine y la de otros filósofos anglosajones de más reciente influencia, como
Timothy Willamson.
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los cuales continúa la jerarquía de la división. Ante esto, Anderson concluye: “la jerarquía
permitiría únicamente un tipo de relación entre conceptos, y las proposiciones aritméticas como
‘7+5=12’ exigen más que eso” (Anderson, 2004: 522). Por tanto, siguiendo este razonamiento, las
proposiciones aritméticas no pueden ser analíticas.
No obstante, Kant (Kant, trad. en 2009: A727-732) rechaza que los juicios analíticos puedan
llamarse definiciones (a lo más, son definiciones nominales, estériles en la matemática, como se
apuntó arriba); reciben tal nombre sólo en un sentido laxo. La razón es que el análisis de los
conceptos, empíricos o puros, entendido como la descomposición del concepto, nunca es
exhaustivo, pues los límites de nuestro alcance cognitivo impiden que uno pueda estar seguro de si
los conceptos simples en los que se descompone el concepto son todos los que lo constituyen, así
como también impiden que uno tenga completa claridad de los conceptos simples que surgen en la
descomposición. En suma, como se estableció en la segunda sección, los juicios analíticos como
definiciones nominales no son precisas. Por ello, las definiciones producidas por descomposición o
analíticamente no tienen certeza apodíctica. Pues la definición nominal no es más que la exposición
detallada de un concepto dentro de sus propios límites; pero entonces el problema es saber cuáles
son esos límites, es decir, hasta dónde tiene que parar mi análisis o si está en el camino correcto.
Las definiciones analíticas pueden ser erróneas de muchas maneras, ya porque introducen
notas que no residían efectivamente en el concepto, ya porque carecen de la exhaustividad
que constituye lo esencial de una definición, porque uno no puede estar seguro de la
integridad del análisis de aquél. (Kant, trad. en 2009: A732)
Esto parece contradecir lo que se ha dicho acerca de los juicios analíticos, especialmente el hecho
de que se los considera como juicios apodícticos. Sin embargo, no es así. Lo que expresa Kant en
este pasaje es simplemente que los juicios analíticos no pueden ser definiciones reales y que las
definiciones analíticas no son apodícticas. Su ejemplo, todos los cuerpos son extensos es analítico,
pero en ningún sentido se consideraría una definición, pues evidentemente la descomposición de
un concepto en otro no es exhaustiva, ni pretende serlo. Lo que Kant diría ante la propuesta de
Anderson sería que en los juicios analíticos sí hay una relación de género y especie y una división
lógica del concepto superior, pero esta división no pretende llegar a todas las marcas distintivas de
ese concepto; incluso si se llega a una, con tal de que cumpla la condición de estar contenida en él
y ser pensada por identidad, sería sólo por ello analítica. Entonces, la división lógica de los
conceptos no tiene que abarcar todos sus límites conceptuales para que el juicio resultante sea
analítico.
Intuición y necesidad epistémica
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Las definiciones propiamente dichas se presentan únicamente en la matemática. A diferencia de
las definiciones analíticas, que son meramente explicativas y discursivas, las matemáticas “[son
producidas] como construcciones de conceptos originariamente fabricados” (Kant, trad. en 2009:
A730). Aquí la palabra clave es construcción de conceptos, que refleja lo esencial de la filosofía de
las matemáticas de Kant. Si, por un lado, analizar un concepto nos lleva a explicarlo
discursivamente dentro de sus propios límites, lo que significa que nuestro conocimiento no
trasciende su contenido, construir el concepto significa, por otro lado, exhibirlo en la intuición en
la que es posible llevar a cabo una síntesis mediante la imaginación y, con ello, extender el
conocimiento más allá del mero concepto. En la definición matemática un concepto no está
previamente dado para poder dividirlo en sus partes constitutivas; por el contrario, el concepto es
dado por la definición real, esto es, por la construcción de otros conceptos exhibidos en la intuición.
Así, para definir el concepto de triángulo tengo que construirlo mediante otros conceptos, como los
de línea recta o ángulo, exhibidos en la intuición del espacio.
Las intuiciones de espacio y tiempo tienen un rol fundamental en la construcción de conceptos
matemáticos y, por tanto, en el conocimiento matemático. Los conceptos refieren a una
multiplicidad de objetos mediante marcas que les son comunes, o sea, ellos son representaciones
generales de los objetos; las intuiciones, por otro lado, son representaciones singulares de los objetos
y son, además, inmediatas (Kant, trad. en 2009: 320). Que las intuiciones son inmediatas quiere
decir que los objetos de la razón están presentes en nosotros directamente, sin la intervención de la
experiencia y, por tanto, a priori; que los conceptos son construidos quiere decir que son puestos
en la intuición para representarlos individualmente. Puesto que las intuiciones del tiempo y del
espacio son puras, y los conceptos que en ellas se exhiben pueden ser puros también, entonces hay
una manera de conocer objetos inmediatamente, sin la intervención de la experiencia, lejos de todo
análisis conceptual, conocimiento que logra trascender los límites de los conceptos con el auxilio
de las intuiciones, por lo cual se ensancha. Por ejemplo, podemos dibujar la figura de un círculo en
papel y tener así una representación empírica de un concepto mediante intuiciones igualmente
empíricas, las sensaciones. Pero Kant nos dice que podríamos hacer ese mismo dibujo en nuestra
mente sin apelar a la experiencia si exhibimos el concepto de círculo en nuestras intuiciones puras.
Lo que estaríamos haciendo sería construir el concepto a partir de otros (punto, equidistancia, etc.)
mediante la síntesis llevada a cabo en la intuición del espacio por la imaginación. Sin tener que
trazar en papel la figura geométrica, uno tiene conocimiento de que el diámetro equivale al doble
del radio porque uno lo ve en el sentido interno. Por tanto, el conocimiento a priori se extiende más
allá de los conceptos puros sólo si éstos se exhiben en las intuiciones puras para llevar a cabo una
síntesis.
Jaakko Hintikka ve en este proceder de Kant una reminiscencia del método matemático de
Euclides y de la geometría antigua en general. Observa (Hintikka, 1967: 363-364) que para los
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geómetras antiguos hubo dos métodos de demostración: el primero es analítico, y consiste en
suponer que se ha logrado un resultado o una construcción para, posteriormente, indagar las
condiciones necesarias para efectivamente lograr el resultado supuesto; el segundo, dice, es el
método sintético, en el que partimos de elementos simples para efectuar una construcción o un
resultado deseado. El método analítico deconstruye un concepto hipotético hasta sus partes
simples; el sintético toma el camino inverso. Ser sintético, entonces, es usar las intuiciones para
construir. Por tanto, la diferencia entre ambos métodos geométricos es que “en el método analítico
no se hace ninguna construcción, mientras que el sintético se basa en el uso de construcciones
reales” (Hintikka, 1967: 363-364). Evidentemente, Hintikka compara los métodos geométricos
antiguos con la distinción analítico/sintético de Kant. Pero lo interesante de las palabras de
Hintikka no es esta comparación, sino en dónde encuentra la clave de la distinción entre analítico
y sintético. De acuerdo con él, ésta está en un paso del método euclidiano llamado ecthesis
traducido como exposición y que equivale en Kant a la exhibición de conceptos in concreto en la
intuición. La ecthesis euclidiana es un paso del método demostrativo que consiste en particularizar
o concretar el contenido de una enunciación más general a través de asumir que la figura de la que
se trata está dibujada, es decir, es el paso de lo general a lo particular y concreto exhibido en la
intuición empírica. Hintikka también observa que ecthesis forma parte de la lógica aristotélica en
un sentido muy parecido a lo que en la lógica moderna llamamos instanciación existencial
(Hintikka, 1967: 367-369). Asimismo, para Kant un concepto in abstracto sólo tiene una forma
lógica o será vacío de contenido a menos que tenga un objeto al cual refiera; para ello, es preciso
exhibirlo en la intuición como un concepto in concreto (Kant, trad. en 2009: A239). Por tanto, que
los juicios matemáticos sean sintéticos depende de usar las intuiciones de tiempo y espacio para
particularizar conceptos matemáticos al exhibirlos en ellas, contrario a los juicios analíticos, en los
que los conceptos son siempre abstractos y no se destaca más que su forma lógico-conceptual. Este
probable origen histórico de la exhibición de lo general en lo particular ilustra muy bien por qué
las verdades matemáticas son para Kant verdades en las que la intuición es necesaria.
Charles Parsons (Parsons, 1992) critica la postura de Hintikka porque, desde su punto de vista,
pasa por alto un criterio relevante en la filosofía de las matemáticas de Kant. Explica que la
dicotomía entre intuiciones y conceptos, ambos necesarios, pero a la vez independientes en los
juicios sintéticos a priori, corresponde con la división entre representaciones singulares y
representaciones generales, respectivamente. El hecho de que tengamos conocimiento matemático
inmediato se debe a la intuición, así que el conocimiento inmediato es siempre acerca de
representaciones individuales. El paso de ecthesis en el método euclideano exhibe una
representación individual en la intuición. Parsons escribe: “lo que satisface el criterio de inmediatez
de la intuición también satisfará el criterio de singularidad” (Parsons, 1992: 45), y observa que el
proceso inverso no siempre es válido, porque hay representaciones singulares mediadas por los
conceptos que a veces se presentan en forma de descripciones definidas (v. g. el primer hombre que
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pisó la luna es tal y tal). La crítica de Parsons a Hintikka es que éste desestima la importancia del
criterio de inmediatez, mencionado por Kant al inicio de la Estética Trascendental, que es de suma
importancia por su rol en la representación intuitiva de los objetos de la matemática. Para Hintikka,
el criterio de inmediatez se deriva del de singularidad. Pero si esto es cierto, entonces cabe la
posibilidad de tomar el conocimiento mediato como conocimiento inmediato en aquellos casos en
los que hay un concepto singular. Esto es: que algo sea singular no significa que es inmediato. Kant
destaca la importancia de la exhibición de los conceptos en la intuición para tener conocimiento
inmediato del concepto in concreto, es decir, de su objeto. Se considera que la observación de
Parsons es atinada porque evita el riesgo de tomar el conocimiento mediato como inmediato en
conceptos singulares y, sobre todo, porque insiste en la importancia de la intuición pura para
acceder a objetos matemáticos por el conocimiento inmediato.
Otro punto clave de la sinteticidad de los juicios matemáticos radica en cuáles son los conceptos
exhibidos en la intuición pura. En palabras de Kant: “sólo el concepto de magnitudes [Grössen] se
puede construir, es decir, se puede exponer a priori en la intuición; mientras que las cualidades no
se pueden exhibir en ninguna otra intuición que la empírica” (Kant, trad. en 2009: 714-715)18 .
Los conceptos de causa, realidad, por citar un par de ejemplos, sólo son expuestos en la experiencia,
no así los de número o los de la geometría, expuestos en la intuición tanto pura como empírica. Sólo
los conceptos matemáticos llevan consigo inherentemente una intuición pura. Esto es claro con los
conceptos geométricos, que no pueden ser pensados sin la intuición del espacio (punto, línea recta,
curva son ejemplos); en los conceptos aritméticos, como número, la misma claridad no ocurre, pero
Kant explica que los números son unidades que sintetizan lo múltiple de una intuición (Kant, trad.
en 2009: A142). Entonces, puesto que los conceptos matemáticos son los únicos que se exhiben y
construyen en la intuición pura, y lo que se construye en ésta son cantidades, se sigue que
únicamente los conceptos matemáticos son magnitudes espaciales o temporales (Shabel, 2021).
En CRP Kant define el concepto de magnitud (quanti) como “la conciencia de lo homogéneo
múltiple en la intuición en general, en la medida en que mediante ella [la intuición] se hace,
primeramente, posible la representación de un objeto” (Kant, trad. 2009: B203). Lo múltiple se
refiere a un conjunto de individuos que comparten algo en común. En ese mismo pasaje afirma
que en dicho concepto podemos pensar lo múltiple homogéneo de las experiencias, que contienen
las intuiciones de espacio y tiempo que son cuantificables, como una unidad lograda a partir de una
síntesis, de lo que concluye que “todos los fenómenos son magnitudes [Grössen]” (Kant, trad. 2009:
B203). De esto se sigue que en todos los fenómenos están presentes los conceptos matemáticos o,
18 Mario Caimi en su edición de CRP traduce Grössen como cantidades. Aquí se ha preferido seguir la traducción de
la palabra alemana a la inglesa Magnitude para concordar con Sutherland.
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lo que es lo mismo, que todos los fenómenos de la experiencia son cuantificables. Al respecto,
Antonio López Molina apunta:
[...] la percepción de un objeto como un fenómeno es gracias a que tenemos la síntesis de lo
múltiple puro y homogéneo del espacio y del tiempo determinado que ocupa, lo que significa,
en primer lugar, que los objetos, en cuanto fenómenos, deben subsumirse bajo las categorías
de cantidad, y segundo, todos los fenómenos son magnitudes extensivas. (López Molina,
2005: 47)
No es que las cantidades estén por sí mismas en los fenómenos, más bien, es en virtud de nuestras
intuiciones en las cuales los fenómenos nos son dados, que podemos matematizarlos. Entonces, la
idea de Kant no indica en ningún sentido que los juicios matemáticos se justifiquen en la
experiencia, más bien, apunta a sostener la aplicabilidad de la matemática en el mundo fenoménico
a través de la síntesis lograda en la intuición pura. Lo común entre los juicios empíricos y los
matemáticos es la síntesis de lo múltiple homogéneo, mientras que la marca distintiva es lo a
posteriori y lo a priori, respectivamente; entre éstos, media la intuición.
Daniel Sutherland (Sutherland, 2004: 426) menciona que hay dos características clave de las
magnitudes: el ser múltiple homogéneo y que esto ocurra en la intuición. A su vez, esto deriva en
otras dos claves de las magnitudes: respectivamente son la síntesis de lo múltiple homogéneo en
unidades, y el espacio y el tiempo en el que se da la síntesis. Pero las magnitudes no son siempre
iguales: a veces las usamos para referir a algo concreto, para lo cual está el término quantum; otras
veces, para referir a algo abstracto, para lo cual está el término quantitas. Quantum es una magnitud
en sentido mereológico, pues las magnitudes pueden ser extensivas, en cuyo caso uno va del todo a
las partes, o intensivas, construidas de las partes al todo (Sutherland, 2004a: 427; 2021: 281; López
Molina, 2005: 47-56). El número 7, por ejemplo, es un todo que presupone sus partes, las unidades
sintetizadas en la intuición del tiempo (1+1+1+1+1+1+1), por lo que es un quantum extensivo.
Quantitas responde a la pregunta “¿Cuán grande es algo?” (Kant, trad. en 2009: B204) aplicada a
dos tipos de cantidades, a saber, las continuas, que cuantifican sobre términos de masa de acuerdo
con una unidad de medida (¿cuánto oro hay en el mundo?), y las discretas, que usamos para
numerar individuos (¿cuántos apóstoles tuvo Cristo?). Las primeras miden, las segundas cuentan.
Quantum y quantitas pueden o no coincidir. Por ejemplo, cuando exhibimos el concepto de círculo
en la intuición lo construimos a partir de otros conceptos, como los de punto y línea, o sea, es un
quantum; cuando derivamos verdades del círculo, como que el diámetro es mayor que el radio, se
trata de quantitas en una cantidad continua; y si decimos que el círculo no tiene ninguna línea recta
(tiene cero líneas rectas), se trata de quantitas como cantidad discreta. En este sentido, hay un
quantitas del espacio (geométrico) y uno del tiempo (aritmético) (Kant, trad. en 2009: A717; cfr.
Sutherland, 2004: 429). Ahora, puesto que todo fenómeno del sentido externo requiere de las
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intuiciones del espacio o del tiempo, entonces todo fenómeno en tanto es un múltiple homogéneo,
tiene relación con quantum o con quantitas.
De lo anterior se desprende que el espacio y el tiempo, aunque intuiciones puras, son también
magnitudes que corresponden a priori a quantum. Entonces, si bien todos los fenómenos del
sentido externo son matematizables por las razones dichas arriba, también hay que aceptar, según
esas mismas razones, que con independencia de cualquier experiencia en la intuición pura están
presentes las proposiciones matemáticas debido a que el espacio y el tiempo son términos de masa
y, por eso, son matematizables. Es posible pensar en una superficie más amplia que otra o en un
periodo más largo que otro incluso sin cuantificarlos. Pero cuando relacionamos el espacio o el
tiempo con patrones de medida, son también magnitudes que corresponden a quantitas de manera
a priori. Por lo tanto, con o sin la experiencia de los fenómenos, las proposiciones matemáticas
siempre son acerca de magnitudes en las que las intuiciones puras tienen un rol, y así, “los objetos
matemáticos son magnitudes” (Sutherland, 2004: 435).
Ahora bien, según la caracterización del mismo Kant de los juicios sintéticos a priori, los principios
de contradicción y de identidad no son la amalgama que une sus conceptos componentes, sino, más
bien, la intuición pura y la imaginación que concreta la síntesis de las representaciones (Kant, trad.
en 2009: A155). Esto indica que el sujeto 7+5 de la proposición sintética a priori 7+5=12 está
conceptual y lógicamente separado del predicado es igual a doce, de tal modo que, tomando esto
como premisas, se podría llegar a la conclusión de que es lógicamente posible decir que la suma de
7 y 5 no es 12. Esto es consistente con las palabras de Kant cuando afirma que al pensar en la suma
de 7 y 5 no se piensa inmediatamente, por contenido conceptual, en el concepto 12, porque no se
trata de una proposición analítica. Esto no parece conducir a ninguna contradicción si vemos la
proposición aritmética desde su construcción en la intuición, a pesar de que la proposición sea
transformada en una identidad de la forma a=a a la manera de Leibniz, ya que, al parecer, no
estaríamos negando la identidad en su sentido lógico, sino la construcción del 12 desde el concepto
de la suma de 5 y 7. Lo que se pretende destacar aquí es que, como las proposiciones aritméticas no
pertenecen al campo de la lógica y no se rigen por sus principios según supuso Leibniz, entonces
su negación, 7+5
≠
12 es lógicamente posible19. Robert Hanna (Hanna, 2002: 334) propone dos
19 Capozzi (Capozzi, 1980: 441) dice que para Kant la geometría es ciencia del espacio, pero la aritmética no es ciencia
del tiempo, pese a que nuestro filósofo relaciona ambas ciencias con estas intuiciones. Tal afirmación indica que la
geometría está sujeta a la intuición del espacio, de modo que, si el modelo del espacio cambia, cambia la geometría,
como ocurre con las geometrías no euclidianas. Parsons (Parsons,1992: 58-59) menciona como un dato histórico la
búsqueda en tiempos de Kant de posibilidades lógicas para la geometría y para la aritmética que no correspondieran
con la teoría matemática y señala que en el caso de la aritmética es más difícil encontrar estas posibilidades. Aquí,
Hanna presenta un modelo sencillo.
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mundos posibles20 en los que la negación de esta identidad numérica es lógicamente posible: el
primero es un mundo compuesto por menos de doce elementos, el segundo es uno en el que haya
doce o más elementos, pero en el que no existen funciones recursivas entre números, como las de
sucesión o adición. Una réplica kantiana diría que tales mundos son inconsistentes, pues basta
tener la intuición del tiempo para poder cuantificarlo como una magnitud extensiva en quantitas,
y así tener más de doce elementos y, además, funciones recursivas. La respuesta esperada, por
supuesto, es que en los modelos de tales mundos —propuestos por Hanna— la mente humana no
sea un elemento, de modo que no podría existir la intuición del tiempo. Por lo tanto, sí hay al menos
dos posibilidades lógicas de negar la identidad entre la suma del 7 y 5 y el 12.
Pero en el mundo efectivo en el que estamos, el cogito cartesiano salva nuestras intuiciones de
espacio y tiempo, junto con los conceptos puros del entendimiento, de no existir. En este mundo
(el conjunto de nuestras experiencias) los juicios matemáticos, que son todos sintéticos a priori, son
necesarios y apodícticos. ¿Cuál es el fundamento de su necesidad? Arriba se ha expuesto la
respuesta de Kant: ser necesario es coextensivo con ser conocido a priori. Desde la interpretación
de Kitcher, esto significa que una proposición es necesaria si y sólo si es verdadera por encima de
cualquier experiencia posible (entiéndase estar por encima de como prescindir de). Ahora se explica
más detalladamente esta necesidad: puesto que en la intuición pura los conceptos puros que ofrece
el entendimiento son exhibidos y con ello construidos de tal modo que el conocimiento matemático
rebasa los límites de dichos conceptos, todo lo que en ella pensamos no puede ser pensado, es decir,
construido, de otra manera. Son las intuiciones junto con los conceptos lo que determinan el objeto
matemático pensado, incluso si son llevadas a la experiencia. Cada vez que uso mis dedos para
sumar 7+5 mi intuición del tiempo y los conceptos que en ella exhibo han determinado
previamente que no puedo llegar más que al número doce. Para Kant, son nuestras facultades
cognitivas lo que modela nuestro conocimiento matemático. En este sentido, las proposiciones
matemáticas son sintéticamente necesarias, de lo que se sigue que la necesidad de la matemática es
de carácter epistémico. Hanna lo expresa así: “de acuerdo con Kant, las proposiciones sintéticas a
priori son [restringidamente] necesarias. […] Esto quiere decir que ellas son verdaderas en todos y
únicamente los mundos humanamente experimentables” (Hanna, 2002: 331).
También es pertinente decir que las proposiciones matemáticas son necesarias porque son
verdaderas en todo mundo epistémicamente posible. No es que, en efecto, tengamos acceso
epistémico a todas las experiencias, más bien es que, en principio, podemos tenerlo. En cada una
de ellas no encontraremos nada que pueda contradecir las proposiciones de la matemática, así que
también se debe afirmar que, en este sentido, son necesarias. No es que la experiencia fundamente
20 El término mundo posible Hanna lo entiende en un sentido metafísico, no como experiencia posible, en el sentido
de Kitcher.
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la necesidad matemática, es que la confirma. Es importante destacar la relevancia de la experiencia
en la matemática para Kant. En CRP leemos que cuando los conceptos y las intuiciones puras no
se refieren a experiencias sólo son meros juegos de la imaginación o del entendimiento; por el
contrario, cuando son aplicables a las experiencias, encuentran su validez objetiva (Kant, trad. en
2009: A239; como se citó en Hanna, 2002: 331). Entonces, para darle a la matemática esta validez
al mismo tiempo que necesidad, hay que agregar que una proposición matemática es necesaria si y
sólo si es verdadera en toda experiencia posible. Por lo tanto, la necesidad matemática está dentro
y por encima de cualquier experiencia o mundo posible.
Por supuesto, la necesidad epistémica no excluye la necesidad lógico-conceptual. Kant afirma que
“una proposición sintética puede, por cierto, ser entendida según el principio de contradicción,
pero sólo si se presupone otra proposición sintética de la cual aquélla puede ser deducida; nunca,
empero, en sí misma” (Kant, trad. en 2009: B14). En efecto, cuando hacemos un razonamiento
deductivo, como 5>4 y 4>3, por tanto, 5>321, el principio de contradicción está presente, pero cada
proposición es sintética a priori, no analítica. Esto apunta a que el principio de contradicción vale
en conjunto con las proposiciones sintéticas a priori, pero no es inherente a ellas.
Por último, no hay que confundir esta necesidad lógico-conceptual con la que Kant menciona
cuando dice que las proposiciones apodícticas, entre las cuales se cuentan, como se ha visto, las de
la matemática, expresan necesidad lógica (Kant, trad. en 2009: A76). Ahí Kant explica que las
proposiciones apodícticas piensan a las asertóricas, que hablan de la verdad (también llamada por
él realidad lógica), como determinadas por las leyes del entendimiento. Al ser proposiciones
verdaderas con tal determinación, Kant las considera lógicamente necesarias. Pero la lógica que se
está tratando en esta parte de la CRP es una lógica de la verdad o lógica analítica trascendental, en
la cual “ningún conocimiento puede contradecirla sin perder […] toda referencia a algún objeto, y
por tanto, toda verdad”, por lo que ella “expone los elementos del conocimiento puro del
entendimiento, y los principios sin los cuales no puede […] ser pensado objeto alguno” (Kant, trad.
en 2009: B87).
Así, puesto que los juicios sintéticos a priori exhiben sus conceptos en la intuición, con lo cual se
piensan los objetos matemáticos, ellos requieren de esta lógica trascendental y de su necesidad, que
no contiene el principio de contradicción aunque está en concordancia con él.
21 Obedece al principio de contradicción porque, si fuera falso, diríamos que la parte es menor que el todo y que la
partes es igual o mayor que el todo. Hanna escribe el siguiente ejemplo (Hanna, 2002: 347) :
(1) 7+5=12
(2) 3+4=7
(3) 3+4+5=12.
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Conclusiones
A lo largo de este texto se han expuesto los tres tipos de modalidad, y necesidad en particular, que
Kant considera en su discusión sobre la naturaleza de los juicios de la matemática, a saber,
metafísica, lógico-conceptual y epistémica. La primera se ha rechazado por la razón de que refiere
a cómo son las cosas en sí mismas, en su constitución interna metafísica, lo que es inaccesible desde
nuestras facultades cognitivas humanas. Ni la intuición ni el contenido de los conceptos pueden
tener contacto con la constitución interna de los objetos, y puesto que su esencia es una propiedad
que les pertenece necesariamente, se sigue que no podemos conocerla ni por conceptos ni por
intuiciones. Lo que sí es posible conocer es su definición real, la esencia del objeto en la medida en
que éste es construido por la exhibición de su concepto en la intuición. Esta esencia del objeto no
debe confundirse con la constitución interna de las cosas en sí mismas, pues se refiere al objeto de
un concepto formado en el sentido interno.
La necesidad lógico-conceptual se basa en dos principios fundamentales: el de identidad y el de
contradicción. Las definiciones de juicios analíticos se basan en ambos principios, pues en ellos hay
una relación de identidad entre sus contenidos conceptuales y no pueden ser negados sin
contradicción. Por lo tanto, su necesidad otorga completa certeza sobre su verdad. Pero
precisamente porque entre el sujeto y el predicado hay identidad conceptual, los juicios analíticos
no rebasan los propios límites de cualquiera de ambos conceptos, así que el punto de salida siempre
es el punto de llegada, con lo cual nada nuevo se llega a conocer, por más que se destaque su
necesidad lógica y su certeza.
Por último, la necesidad epistémica tiene su fundamento en lo que está a nuestro alcance conocer,
de acuerdo con nuestro pensamiento y nuestra sensibilidad. El primero ofrece los conceptos puros
de la matemática, en la segunda éstos se concretan y se individúan, de tal modo que uno va más allá
de los límites de los conceptos. La síntesis que se da gracias a la imaginación puede ser empírica o
pura, pero la que ocurre en la matemática es siempre a priori, ya que ninguna experiencia ofrece
un conocimiento científico como lo es el matemático, de modo que la síntesis matemática tiene que
ser pura. Puesto que lo a priori siempre está ligado a la necesidad, los juicios matemáticos siempre
son necesarios. Basado en la interpretación de los mundos posibles que, en la filosofía de Kant no
son otra cosa que experiencias posibles, esto es, experiencias humanamente asequibles según la
capacidad de nuestras facultades, se ha sostenido que la necesidad de las matemáticas tiene que ser
epistémica en el sentido de que su conocimiento es a priori, o sea, está por encima de cualquier
experiencia posible, pero también en el sentido de que los juicios matemáticos son verdaderos en
cualquier experiencia posible, pues si bien no todas las experiencias son efectivas (algo
humanamente inasequible), el hecho de que su necesidad esté fundamentada a priori significa que
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no habrá experiencia alguna que pueda contradecir nuestros juicios matemáticos, así que éstos se
cumplen en toda experiencia posible.
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